契約書の用意はどちらがするのか？

特に、法律に定めはなく、どちらが準備してもOKです。

契約書を相手に作ってもらうより、ご自身（自社）で準備することを圧倒的におすすめします。
特に請負契約であれば、ぜひともご自身で作成してください。

契約書は一般的には、提出する方の有利な内容になっています。

たとえば請負契約について、金額と納期以外にも、確認しておかないとあとで困るものは例えば次のようなものがあります。

• 検収の期間
• 研修後の支払のタイミング
• 修正が発生したときの追加料金について
• 納期がずれたときの調整方

最初は自社に有利にして交渉しようと考えます。
大きな企業ほどそのような傾向があります。

先に出すほうが有利に話を進められます。

ぜひ、面倒でもご自身で作成して提出することを勧めます。